פיזיקה · מגמה · כיתה י · קינמטיקה

משוואות התנועה בתאוצה קבועה

איפה הגוף נמצא אחרי זמן t — ואיך מוצאים את המהירות גם כשלא יודעים כמה זמן עבר

x = x₀ + v₀t + ½at² v² − v₀² = 2aΔx

ניווט: ← / רווח קדימה · → אחורה · N הערות למורה · F מסך מלא

מהלך השיעור · 45 דקות

מה נעשה היום?

3 דק׳

חזרה קצרה

v = v₀ + at, והשטח מתחת לגרף מהירות-זמן

21 דק׳

חלק א׳: משוואת המקום-זמן, חמש דרכים להבין אותה

מרוץ · „בונוס" התאוצה · שטח · פרוסות זמן (למה זה נכון?) · מהירות ממוצעת · גרף x-t

16 דק׳

חלק ב׳: משוואת הפרש הריבועים (בלי זמן)

מרחק בלימה · פיתוח · v² לעומת מרחק · למה כל מטר מוסיף 2a? · איזו משוואה בוחרים?

5 דק׳

סיכום וכרטיס יציאה

ואחר כך: תרגול אינטנסיבי בדף התרגול

דק׳ 1–4 · חזרה
חזרה

מה כבר יודעים על תנועה בתאוצה קבועה?

משוואת המהירות-זמן

v = v₀ + a·t

בכל שנייה המהירות משתנה ב-a. בגרף v-t: קו ישר, השיפוע הוא a.

ההעתק מגרף v-t

Δx = שטח

השטח בין הגרף לציר הזמן = ההעתק.
מהירות קבועה: מלבן, Δx = v·t.

1. v₀ = 4 m/s, a = 2 m/s². מה המהירות אחרי 3 שניות?
v = 4 + 2·3 = 10 m/s
2. גוף נע ב-6 m/s במשך 5 שניות. מה ההעתק?
Δx = 6·5 = 30 m (מלבן)

השאלה להיום: כשהמהירות משתנה — מה שטח הגרף? ואיך יודעים איפה הגוף נמצא?

דק׳ 4–8 · מרוץ
שאלת פתיחה · נחשו קודם!

מרוץ: מהירות קבועה נגד יוצאת ממנוחה

מכונית A נוסעת במהירות קבועה של 10 m/s. מכונית B יוצאת ממנוחה בתאוצה של 2 m/s². שתיהן מתחילות יחד מאותה נקודה. מי מקדימה אחרי 5 שניות? אחרי 10? אחרי 15?

t = s
A: x = m  ·  B: x = m
A מקדימה עד t=10; ב-t=10 הן שוות (100 m). אחר כך B מקדימה, כי המהירות שלה ממשיכה לגדול ומגיעה ל-20 m/s. המרחק של B לא גדל קבוע בכל שנייה!
דק׳ 8–10 · זווית 1
זווית 1„הבונוס" של התאוצה

נסיעה במהירות קבועה + מתנה מהתאוצה

v₀ a t
בלי תאוצה: v₀·t = m
בונוס התאוצה: ½at² = m
סה״כ: Δx = m
Δx = v₀t + ½at²
דק׳ 10–13 · זווית 2
זווית 2גרף מהירות-זמן: שטח = מלבן + משולש

הטרפז שמתחת לגרף

הגרף v = v₀ + at עולה בקו ישר. נפצל את השטח לשני חלקים פשוטים:

■ מלבן: בסיס t, גובה v₀: v₀·t =
■ משולש: בסיס t, גובה at: ½·t·at =
Δx = m
v₀ a t
Δx = v₀t + ½·t·(at) = v₀t + ½at²
דק׳ 13–16 · למה זה נכון?
למה?אינטואיציה פיזיקלית: נחתוך את הזמן לפרוסות

איך אפשר להיות בטוחים ב-½at² ?

תנועה במהירות קבועה אנחנו כבר מכירים: Δx = v·Δt. אז נחתוך את התנועה ל-N פרוסות קצרות, ובכל פרוסה נניח שהמהירות „קפואה" על הערך שיש בתחילתה.

פרוסות: · מהירות ההתחלה 2 m/s, תאוצה 2 m/s², 6 s
סכום המדרגות = m
הנוסחה: v₀t + ½at² = 48 m
למה ½? כי התוספת at ל-v נבנית בהדרגה: בהתחלה אין תוספת, בסוף יש at. בממוצע עבדה חצי ממנה כל הזמן.
דק׳ 16–18 · זווית 3
זווית 3מהירות ממוצעת

אותו טרפז, כמו מלבן בגובה הממוצע

בתאוצה קבועה המהירות עולה בקצב אחיד, ולכן המהירות הממוצעת היא בדיוק באמצע בין v₀ ל-v (ובדיוק ברגע t/2).

המשולש הכתום מימין „עודף" — והמשולש המקווקו משמאל „חסר". הם שווי שטח, אז הטרפז = מלבן בגובה v.

v = v₀ + v2 = m/s
Δx = v̄·t = m
t = s
נציב v = v₀ + at:
v̄ = v₀ + ½at ⇒ Δx = (v₀ + ½at)·t = v₀t + ½at²
דק׳ 18–21 · זווית 4
זווית 4גרף מקום-זמן: פרבולה

x = v₀t + ½at² הוא גרף של פרבולה

v₀ a t
x = m
שיפוע המשיק: v = m/s

שיפוע המשיק לפרבולה בכל נקודה = v₀ + at — בדיוק משוואת המהירות!

דק׳ 21–24 · תרגול קצר
בדקו את עצמכם

משתמשים במשוואת המקום-זמן

1מכונית יוצאת ממנוחה בתאוצה 4 m/s². כמה מטרים תעבור ב-5 s?

Δx = ½·4·5² = 50 m

2אופנוע: v₀ = 8 m/s, a = 1.5 m/s². כמה מטרים תוך 6 s?

Δx = 8·6 + ½·1.5·36 = 48 + 27 = 75 m

3רכבת בולמת: v₀ = +20 m/s, a = −2 m/s². כמה מטרים תוך 6 s?

Δx = 20·6 + ½(−2)·36 = 120 − 36 = 84 m
פחות מ-120 — התאוצה „גונבת" מרחק.

4יוצאים ממנוחה בתאוצה 2 m/s². אחרי כמה זמן עוברים 36 מטר?

36 = ½·2·t² ⇒ t² = 36 ⇒ t = 6 s
דק׳ 24–25
מלכודות

ארבע טעויות נפוצות

✗ „x = ½at² תמיד נכון"

✓ זה נכון רק כש-v₀ = 0 (ו-x₀ = 0). אם יש מהירות התחלתית — לא לשכוח את v₀t.

✗ משתמשים ב-x = v·t כשהמהירות משתנה

✓ v משתנה, אז צריך מהירות ממוצעת — או את המשוואה המלאה.

✗ מבלבלים בין t² ל-2t

✓ t בריבוע: ב-4 שניות — פי 16, לא פי 8. אפשר לבדוק: אם הזמן גדל פי 2, התוצאה גדלה פי 4.

✗ ממשיכים להציב אחרי שהגוף נעצר

✓ רכבת במהירות 20 m/s ובתאוצה −2 m/s² נעצרת אחרי 10 שניות ו-100 מטר. ב-15 שניות המשוואה נותנת 300 − 225 = 75 — אבל הרכבת לא חזרה אחורה! המשוואה תקפה רק כל עוד התאוצה קבועה.

דק׳ 25–28 · חלק ב׳
חלק ב׳ · שאלת פתיחה · נחשו קודם!

מרחק בלימה: אם נכפיל את המהירות…

מכונית בולמת בתאוצה קבועה a = −5 m/s² (כביש יבש). ב-54 קמ״ש היא נעצרת אחרי 22.5 מטר. כמה מטרים תעבור ב-108 קמ״ש?  (א) 45   (ב) 67.5   (ג) 90   (ד) 180

מהירות
v₀ = m/s  ·  v = m/s
מרחק בלימה = m
(ג) 90 מטר — פי 4! מהירות כפולה ← מרחק בלימה כפול בריבוע. מכאן: „ככל שמהירים יותר, הסכנה גדלה הרבה יותר מהר".
דק׳ 28–32 · פיתוח
איך מקבלים משוואה בלי t?

פיתוח: הפרש ריבועים עושה את העבודה

① מהגדרת התאוצה: v − v₀ = a·t
② ממהירות ממוצעת: Δx = v + v₀2·t  ⇒  v + v₀ = 2Δxt
③ נכפיל את שני הצדדים (①×②):
(v − v₀)(v + v₀) = a·t · 2Δxt
④ בצד אחד הפרש ריבועים, ובצד השני t מצטמצם:  (A−B)(A+B) = A²−B²
v² − v₀² = 2aΔx

בדיקה במספרים

v₀ a t
v = v₀+at
Δx = v₀t+½at²
(v − v₀) · (v + v₀)
v² − v₀²
2aΔx

שתי השורות האחרונות תמיד שוות!

דק׳ 32–34 · זווית 1
זווית 1v² גדל בקצב אחיד — לא לפי זמן אלא לפי מרחק

בכל מטר ש„נוסעים", v² גדל ב-2a

v₀ a Δx
v² = v₀² + 2aΔx =
v = m/s
שיפוע הגרף: 2a =
השוואה:
בגרף v-t: בכל שנייה v גדל ב-a
בגרף v²-x: בכל מטר v² גדל ב-2a
דק׳ 34–37 · למה זה נכון?
זווית 2אינטואיציה פיזיקלית: ממהר ← פחות זמן בכל מטר

למה כל מטר מוסיף בדיוק 2a ל-v² ?

מרחק (m)v (m/s)זמן בקטע (s)Δv בקטעΔ(v²) בקטע
v₀ a קטע

הסיפור: נחלק את הדרך לקטעים שווים. הגוף המהיר עובר קטע בפחות זמן, ולכן התאוצה „מספיקה" להוסיף לו פחות מהירות — Δv קטן.

אבל Δ(v²) ≈ 2v·Δv: מהירות גבוהה מכפילה בחזרה תוספת קטנה. שני האפקטים מתקזזים בדיוק:

Δ(v²) = 2v · aΔxv = 2aΔx
התוצאה: v² הוא הגודל ש„גדל בצורה הוגנת" לפי מרחק — בדיוק כמו ש-v גדל הוגן לפי זמן.
דק׳ 37–39 · איך בוחרים?
זווית 3איזו משוואה? מחפשים מה חסר

בוחרים משוואה לפי הגודל שלא מופיע בשאלה

v = v₀ + atאין בה Δx
Δx = v₀t + ½at²אין בה v
v² − v₀² = 2aΔxאין בה t
Δx = ½(v + v₀)·tאין בה a

מה לא מופיע בשאלה (לא נתון ולא נשאל)?

1מכונית מאיצה מ-10 ל-30 m/s בתאוצה 2 m/s². כמה מטרים עברה?

חסר t, לכן הפרש ריבועים: 900 − 100 = 4Δx ⇒ Δx = 200 m

2אופנוע יוצא ממנוחה בתאוצה 3 m/s². כמה מטרים אחרי 4 שניות?

חסר v, לכן: Δx = ½·3·16 = 24 m

3רכבת במהירות 30 m/s נעצרת תוך 600 מטר. מהי התאוצה?

חסר t, לכן: 0 − 900 = 2a·600 ⇒ a = −0.75 m/s²
דק׳ 39–41 · דוגמה פתורה
דוגמה פתורה

מכונית יוצאת ממנוחה בתאוצה 2 m/s²

מהי מהירותה אחרי 100 מטר? ואחרי כמה זמן היא מגיעה לשם?

פתרון

נתונים: v₀ = 0, a = 2 m/s², Δx = 100 m
חסר t, לכן הפרש ריבועים:
v² − 0 = 2·2·100 = 400 ⇒ v = 20 m/s
הזמן — ממשוואת המהירות:
20 = 0 + 2t ⇒ t = 10 s

בדיקה במשוואת המקום: ½·2·10² = 100 m — וזה גם הזמן שבו B השיגה את A בשקף 4!

נסו בעצמכם

אוטובוס נוסע ב-25 m/s ובולם בתאוצה −5 m/s². מה מהירותו אחרי שעבר 40 מטר?

v² = 25² + 2(−5)(40) = 625 − 400 = 225 ⇒ v = 15 m/s
(חיובי — האוטובוס עדיין נוסע קדימה)

ומה מרחק העצירה המלא של האוטובוס?

0 − 625 = 2(−5)Δx ⇒ Δx = 62.5 m
דק׳ 41–42 · שני פתרונות
כדור נזרק למעלה ב-20 m/s · למעלה = חיובי · a = −10 m/s²

מהי המהירות בגובה h? השורש נותן שני סימנים

גובה h:
h = m
v² = 20² + 2(−10)h =
המשוואה לא יודעת אם הכדור בעלייה או בירידה — היא מחזירה v². מי שמחליט על הסימן הוא הפיזיקה: למעלה v>0, למטה v<0.
בשיא v² = 0, לכן h = 400/20 = 20 m. פתרון אחד בלבד (שני הפתרונות מתלכדים).
דק׳ 42–43 · סיכום
סיכום

שלוש משוואות, כמה דרכים להבין

משוואהחסרהאינטואיציה
v = v₀ + atΔxבכל שנייה v משתנה ב-a · שיפוע גרף v-t
Δx = v₀t + ½at²vמכונית רפאים + בונוס · מלבן + משולש · פרוסות זמן במהירות קבועה · מהירות ממוצעת · פרבולה
v² − v₀² = 2aΔxtהפרש ריבועים · בכל מטר v² משתנה ב-2a (ממהר ← פחות זמן ← פחות Δv, אבל v² מתקן) · פי 2 מהירות = פי 4 מרחק בלימה
שיטה: 1. ציר וסימנים   2. רושמים נתונים   3. מה חסר?   4. בוחרים משוואה   5. פותרים ובודקים אם התוצאה הגיונית
דק׳ 43–45
כרטיס יציאה

לפני שעוברים לתרגול…

1

גוף: v₀ = 5 m/s, a = 2 m/s². כמה מטרים הוא עובר ב-4 שניות?

2

מכונית נוסעת ב-18 m/s ובולמת בתאוצה −3 m/s². מהו מרחק העצירה?

3

אם מהירות המכונית גדלה פי 3, פי כמה גדל מרחק הבלימה (באותה תאוצה)? נמקו.

1. Δx = 5·4 + ½·2·16 = 36 m
2. 0 − 324 = 2(−3)Δx ⇒ Δx = 54 m
3. פי 9, כי המרחק פרופורציוני ל-v₀².
עכשיו מתרגלים
תרגול אינטנסיבי

דף התרגול: שתי המשוואות החדשות

משוואת המקום-זמן

Δx = v₀t + ½at²

  • יוצאים ממנוחה? v₀ = 0
  • בולמים? a שלילי
  • מחפשים t? שורש (או משוואה ריבועית)

משוואת הפרש הריבועים

v² − v₀² = 2aΔx

  • אין t בשאלה? זו המשוואה
  • בשורש: שני סימנים — מחליטים לפי הכיוון
  • v=0 כשהגוף נעצר
לפני שמציבים: צירו תרשים · סמנו כיוון חיובי · רשמו נתונים ומה חסר · בחרו משוואה. אחרי שפותרים: האם התוצאה הגיונית?

הערות למורה (N להסתרה)